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數(shù)學(xué)邏輯

數(shù)學(xué)邏輯專注在將數(shù)學(xué)置于一堅(jiān)固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果．現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)性。

數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)語言亦對初學(xué)者而言感到困難．如何使這些字有著比日常用語更精確的意思，亦困惱著初學(xué)者，如開放和域等字在數(shù)學(xué)里有著特別的意思．?dāng)?shù)學(xué)術(shù)語亦包括如同胚及可積性等專有名詞．但使用這些特別符號和專有術(shù)語是有其原因的：數(shù)學(xué)需要比日常用語更多的精確性．?dāng)?shù)學(xué)家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴(yán)謹(jǐn)”．嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部分．?dāng)?shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去．這是為了避免依著不可靠的直觀，從而得出錯誤的“定理”或“證明”，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過許多的例子。在數(shù)學(xué)中被期許的嚴(yán)謹(jǐn)程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細(xì)的論點(diǎn)，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴(yán)謹(jǐn)．牛頓為了解決問題所作的定義，到了十九世紀(jì)才讓數(shù)學(xué)家用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治黾罢降淖C明妥善處理。數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度．當(dāng)大量的計(jì)算難以被驗(yàn)證時，其證明亦很難說是有效地嚴(yán)謹(jǐn)．